Clear["`*"]
γ[β_]=1/(Sqrt[1-(β^2)]);
P[β_,x1_,x0_]:={γ[β](x1-β x0),γ[β](x0-β x1)}
worldline[β_,x1_,x0_]:=Graphics[{RGBColor[0.3,0.3,0.3],Line[{P[β,x1,-x0],P[β,x1,x0]}]}]
simultline[β_,x1_,x0_]:=Graphics[{RGBColor[0.3,0.3,0.3],Line[{P[β,-x1,x0],P[β,x1,x0]}]}]
lightcone[β_,x1_,x0_]:=Graphics[{RGBColor[0.5,0,0],Line[{P[β,-x1,-x0],P[β,x1,x0]}]}]
showgrid[β_]:={worldline[β,-4,4],worldline[β,-3,4],worldline[β,-2,4],worldline[β,-1,4],worldline[β,0,4],worldline[β,1,4],worldline[β,2,4],worldline[β,3,4],worldline[β,4,4],simultline[β,4,-4],simultline[β,4,-3],simultline[β,4,-2],simultline[β,4,-1],simultline[β,4,0],simultline[β,4,1],simultline[β,4,2],simultline[β,4,3],simultline[β,4,4]}
Manipulate[Show[{showgrid[β],ListPlot[{P[β,-2,-2],P[β,2,3]},PlotStyle->Red]},Axes->True,AxesLabel->{x,y}],{{β,0,"β"},-0.99,0.99}]